ANÁLISIS INTEGRAL DE FUNCIONES: 2013

Unidad 1.- Determinación de la integral definida.

El considerable progreso habido en la ciencia y en la técnica durante los últimos cien años procede, en gran parte, del desarrollo de las matemáticas. La rama de las matemáticas conocida por Cálculo integral y diferencial es un instrumento poderoso para resolver problemas que surgen en la Física, Astronomía, Ingeniería, Química, Geología, etc...

El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante siglos. Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, etc.

1.1 Calculo de antiderivadas mediante formulas inmediatas de integración.

Determinacion de diferenciales
interpretación de garfica de la diferencial de la variable dependiente

Las graficas describen la relacion enter variables que son:
la variable que presente en el eje horizontal se llamaxo variable independiente y el que representa
el eje verticla variable y o variable dependiente.
la variable y es al funcion de la variable x.
para poder interpretar un agrafica, es necesario observarla de izquierad a derecha, ademas de obsrevar como varía la variable dependiente, y al eumentar la variable indepndiente, x.
Las unicas funciones que se peuden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada represenat el valor correspondiente del conjunto.

1.1.2 Resuelve ejercicios de anti-derivadas inmediatas planteadas por el docente considerando lo siguiente:

v formulas

v procedimientos

v resultados

    a).Determinación de diferenciales v interpretación de grafica de la diferencial de la variable dependiente v definición de la diferencial de la variable independiente

v reglas de diferenciación

Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales

De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.

Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en la presente obra se desarrollarán solo los siguientes

1.    Ecuaciones con Variables Separables: Son ecuaciones de la forma:

        Las cuales se puede resolver así:

     Separar las variables. Esto significa que los términos relativos a la variable dependiente queden a un lado de la igualdad y en el otro los que representan a la otra variable. Por tanto:

     Integrar ambos miembros de la igualdad aplicando los métodos de integración.

2.    Ecuaciones Homogéneas: Son ecuaciones de la forma:

Las cuales se puede resolver mediante el siguiente conjunto de pasos, que será llamado de aquí en adelante ALGORITMO HOMOGÉNEO.

     Aplicar el criterio de homogeneidad. Para ello basta con:

                                                                       i.     Denotar el coeficiente de dx con M(x,y) y el coeficiente de dycon N(x,y).

                                                                     ii.     Verificar si son homogéneas, aplicando las siguientes igualdades:

1.   M(x, ky)= knM(x,y)

2.   N(x, ky)= nN(x,y)

B) Cálculo de anti derivadas.

v    Definición.

v   Regla de anti derivadas para potencias.

v   Fórmulas de integración inmediatas.

·          Algebraicas.

·         Logarítmicas.

·         Exponenciales.

·         Trigonométricas.

·         Solución de problemas.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una anti derivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivadas de f(x).

La anti derivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

Notación

La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivadas es la siguiente:

Teorema

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

Conclusión: Si g(x) es una anti derivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier anti derivada de f es en ese conjunto D se puede escribir comoc constante real.

Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida

A la hora de resolver una anti derivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:

·         Concepto.

·         Propiedades.

·         Reglas de integración.

·         Integrales inmediatas.

·         Métodos clásicos de integración:

-Integración por sustitución.

-Integración por partes.

-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.

·         Uso de tablas.

·         Integración de funciones trigonométricas sencillas.

·         Integración de funciones racionales sencillas.

1.2. Resuelve ejercicios y aplicaciones de la integral indefinida propuestas por el psp de acuerdo con lo siguiente:

v Ejercicios con el método de:

·         Cambio de variable.

·      El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

·

·      Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

PASOS PARA INTEGRAR POR CAMBIO DE VARIABLE

·

·      1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

·

·

·      Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

·

·      2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

·

·      3º Se vuelve a la variable inicial:

·

·

·      Ejemplo

·

·

·

·

·

·

·

·         Fracciones parciales.

o   La Integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de Integración mas fácil, en donde la forma a seguir esta dada (se podría decir), por unos criterios.

o   Definición: Se llama función racional a toda función del tipo

o   Descripción: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/mat__1.gif

o   En donde Descripción: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/mat__2.gif y Descripción: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/mat__3.gif son polinomios con coeficientes reales, y gradoDescripción: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/mat__4.gif

o   Ejemplo:

Descripción: http://ima.ucv.cl/hipertexto/calculo2/lianggi/fotos/mat__5.gif

1.3. A) Solución por cambio de ventas o sustitución.

v Algebraicas.

v Trigonométricas.

v Exponenciales.

v Logarítmicas

v

B) Solución por partes.

v Formulas.

v Aplicación

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

C) Soluciones por fracciones parciales.

v Casos.

v Aplicación.

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.

Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma Descripción: \int\frac{P(x)}{Q(x)}\;dx donde:

§ P(x) y Q(x) son polinomios

§ El grado de P(x) es menor que el de Q(x)

“Unidad 2”

2.1. Resuelve ejercicios de la integral definida planteados por el docente, considerando lo siguiente:

v Formulas.

v Métodos.

v Procedimientos.

v Resultados.

v Determinación de la integral definida.

v Notación de sumatoria.

v Suma de reman.

v Concepto de integral definida en un intervalo.

v Propiedades.

B)      Aplicación del teorema fundamental del cálculo.

v Definición.

v Formulas directas.

v Cálculo de integrales definidas por métodos.

·         Por cambio de variable.

·         Por partes.

·         Por fracciones parciales.

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

2.2. Resuelve aplicaciones de la integral definida propuestas por el docente de acuerdo a lo siguiente:

v Ejercicios de cálculo de áreas.

·         Con una función.

·         Con dos funciones.

·         Con tres funciones.

v Problemas de algún contexto de:

·         Ciencias.

·         Ingeniera.

·         Economía.

·         Administración.

A)     Calculo de áreas de figuras planas.

v Con una función.

·         Sobre el eje de x.

·         Bajo el eje de x.

·         Entre el eje de x.

Cómo calcular el área de una figura o región plana con la utilización de la integral definida.

Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.

Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo

B)      Resolución de problemas aplicados en diferentes contextos:

v Ciencias e ingeniería.

v Economía y administración